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<!DOCTYPE html>

<title>Potenzfunktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Potenzfunktion</h1>

</header>

</div>

Als Potenzfunktionen bezeichnet man <a href="Elementare_Funktion" title="Elementare Funktion">elementare</a> <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">mathematische Funktionen</a> der Form

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{r}\qquad a,r\in \mathbb {R} ,\qquad a\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/578a194f7bfe9ec0a1340ec6521b3dfb264911ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.436ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{r}\qquad a,r\in \mathbb {R} ,\qquad a\neq 0}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn man nur <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürliche</a> oder <a href="Ganze_Zahl" title="Ganze Zahl">ganzzahlige</a> <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Exponenten</a> betrachtet, schreibt man für den Exponenten meistens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">:

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{n}\qquad n\in \mathbb {Z} .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ad4342f0b65e10bf7f7691102ccda606a67222a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.112ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{n}\qquad n\in \mathbb {Z} .}" loading="lazy"></dd></dl>

Ist der Exponent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> eine natürliche Zahl, so ist der Funktionsterm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ax^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1279250941829edb9b59d769190f7034631f824.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.778ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle ax^{n}}" loading="lazy"> ein <a href="Monom" title="Monom">Monom</a>.

Aus den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> setzen sich die <a href="Ganzrationale_Funktion" title="Ganzrationale Funktion">ganzrationalen Funktionen</a> zusammen, aus denen mit ganzzahligem Exponenten die <a href="Rationale_Funktion" title="Rationale Funktion">rationalen Funktionen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezialfälle">Spezialfälle</h2></div>

<ul><li><a href="Konstante_Funktion" title="Konstante Funktion">konstante Funktion</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon x\mapsto a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon x\mapsto a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63eff6ae1baae624189ae9ec368e05518fefb4e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.486ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon x\mapsto a}" loading="lazy"> (für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/894a83e863728b4ee2e12f3a999a09f5f2bf1c89.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=0}" loading="lazy">)</li>

<li>(homogene) <a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">lineare Funktion</a>/<a href="Proportionalit%C3%A4t" title="Proportionalität">Proportionalität</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon x\mapsto ax}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon x\mapsto ax}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/187c55afc4093e80bc6c4e09ea63320367ab6675.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.816ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon x\mapsto ax}" loading="lazy"> (für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e6584ba3b7843583b757896c2f0686efc0489e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=1}" loading="lazy">)</li>

<li>Quadratfunktion und Vielfache davon: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec59f72c0b5e08cd3e19afc65810365803b60d38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.87ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{2}}" loading="lazy"> (für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c19b110d7eb52a69381b88554e63c8a2aef376c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=2}" loading="lazy">)</li>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=1/n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6db667e6ce26a54f89c323e9662c46b7a41270d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.867ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=1/n}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> ergeben sich <a href="Wurzelfunktion" class="mw-redirect" title="Wurzelfunktion">Wurzelfunktionen</a>.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3aa9dc9f52ab2212ef9945a9d17f5b6ded46c899.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.118ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r=-1}" loading="lazy"> erhält man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon x\mapsto 1/x}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon x\mapsto 1/x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3b166e6b3b560b8f3249a9f1c3001a5b6a78f0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.911ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon x\mapsto 1/x}" loading="lazy">.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitions-_und_Wertemenge">Definitions- und Wertemenge</h2></div>

Die maximal mögliche <a href="Definitionsmenge" title="Definitionsmenge">Definitionsmenge</a> hängt vom Exponenten ab. Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen nicht zulässt, dann kann sie mit der folgenden Tabelle angegeben werden:

<th>r < 0

</th></tr>

<tr>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0cdb66fc3217d8a3035bd57ff397ce2d159c0ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.44ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }" loading="lazy"></td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56420a6ebd07fed2749f2b8884cbf95087951286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\notin \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8db553d7b1bbd8fa285650277dc08cd33beedd7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.44ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle r\notin \mathbb {Z} }" loading="lazy"></td>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54edc82900153fe95d7604ca3418e80cff281e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.189ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}" loading="lazy"></td>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97dc5e850d079061c24290bac160c8d3b62ee139.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

Bei den Wertemengen muss man zusätzlich noch das <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> beachten; wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0cdb66fc3217d8a3035bd57ff397ce2d159c0ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.44ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }" loading="lazy"> ist, kommt es außerdem auch noch darauf an, ob <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> eine gerade oder ungerade Zahl ist:

<th colspan="2">r < 0

</th></tr>

<tr>

<th>r gerade oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \notin \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \notin \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21a9ad9bb932a5d1ff6cc819480da1d28f42ab3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.746ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \notin \mathbb {Z} }" loading="lazy"></th>

<th>r ungerade</th>

<th>r gerade oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \notin \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \notin \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21a9ad9bb932a5d1ff6cc819480da1d28f42ab3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.746ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \notin \mathbb {Z} }" loading="lazy"></th>

<th>r ungerade

</th></tr>

<tr>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54edc82900153fe95d7604ca3418e80cff281e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.189ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}" loading="lazy"></td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></td>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97dc5e850d079061c24290bac160c8d3b62ee139.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}" loading="lazy"></td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56420a6ebd07fed2749f2b8884cbf95087951286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04a0ccd8b5b081f8906b167734243b7785e80dbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.189ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{-}}" loading="lazy"></td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></td>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/158001a03e958f49f5885033776a420fc47b7267.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}" loading="lazy"></td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56420a6ebd07fed2749f2b8884cbf95087951286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Graphen">Graphen</h2></div>

Die Graphen der Potenzfunktionen mit natürlichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> heißen <a href="Parabel_(Mathematik)" title="Parabel (Mathematik)">Parabeln</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ter Ordnung, die mit ganzzahligen negativen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> <a href="Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbeln</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ter Ordnung. Der Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> drückt eine Streckung des Graphen bezüglich der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse um den Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |a|}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |a|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b61d5baa05004815f3abc52f517ce62b609b9b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.523ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |a|}" loading="lazy"> und außerdem Spiegelung an der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">-Achse aus, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5d7ca60f6ed64b99649dcee21847295fedf206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a<0}" loading="lazy"> ist.

Hat eine Potenzfunktion die Definitionsmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56420a6ebd07fed2749f2b8884cbf95087951286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}" loading="lazy">, dann besteht ihr Graph aus zwei Ästen, ansonsten gibt es nur einen Ast.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Symmetrie">Symmetrie</h2></div>

Nur die Graphen von Potenzfunktionen mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0cdb66fc3217d8a3035bd57ff397ce2d159c0ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.44ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }" loading="lazy"> sind symmetrisch; genauer: sie sind <a href="Gerade_Funktion" class="mw-redirect" title="Gerade Funktion">gerade</a> für gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> und <a href="Ungerade_Funktion" class="mw-redirect" title="Ungerade Funktion">ungerade</a> für ungerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy">. Im ersten Fall ist ihr Graph achsensymmetrisch zur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">-Achse, im zweiten ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verhalten_für_x_→_±∞_und_x_→_0">Verhalten für x → ±∞ und x → 0</h2></div>

Alle Potenzfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{r}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/117f33bc371ed44bd28a58dc0a86a6d2c8d59d72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.303ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{r}}" loading="lazy"> mit positiven Exponenten haben eine <a href="Nullstelle" title="Nullstelle">Nullstelle</a> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy">, steigen (aber immer langsamer als die Exponentialfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{x}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.256ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle e^{x}}" loading="lazy">) und gehen gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +\infty }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to +\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to +\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac2c4d9c1dd87b1f5715377dc1847793939a93a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to +\infty }" loading="lazy">. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0cdb66fc3217d8a3035bd57ff397ce2d159c0ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.44ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }" loading="lazy"> ergibt sich das Verhalten für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to -\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a02931d12f93c144745ec549edf61e85fba2c3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to -\infty }" loading="lazy"> aus der Symmetrie.

Alle Potenzfunktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{r}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/117f33bc371ed44bd28a58dc0a86a6d2c8d59d72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.303ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{r}}" loading="lazy"> mit negativen Exponenten gehen gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:4.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle +\infty }" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to 0\;(x>0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to 0\;(x>0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/540c6855f6e79695c3df3ac499f4413984664521.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.151ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\to 0\;(x>0)}" loading="lazy">. Sie fallen und gehen gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to +\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to +\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac2c4d9c1dd87b1f5715377dc1847793939a93a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to +\infty }" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Stetigkeit,_Ableitung_und_Integration">Stetigkeit, Ableitung und Integration</h2></div>

Jede Potenzfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{r}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27404d75b258613456ec4240527bddfe93f2d992.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.79ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{r}}" loading="lazy"> ist stetig auf ihrer Definitionsmenge.

Die zugehörige <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitungsfunktion</a> ist (siehe <a href="Potenzregel" title="Potenzregel">Potenzregel</a>)

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'\colon x\mapsto arx^{r-1}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7c6e90f8cc2a5a7e2635f005a86b7c1da54d55c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.312ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'\colon x\mapsto arx^{r-1}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Formel gilt für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35a455db7b2aab1b0e72ccbc7385e4424e2372e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.591ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq 0}" loading="lazy"> und alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{r}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/117f33bc371ed44bd28a58dc0a86a6d2c8d59d72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.303ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{r}}" loading="lazy"> nur an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> definiert ist. Sie gilt auch an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy">, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\geq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\geq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b1e87b13257cf2fecf01cadc7ad9ca50c6fedfd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.31ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r\geq 1}" loading="lazy"> ist. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<r<1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<r<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1adaa51383bee18b9719d1f44289c12c632aa8c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.57ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<r<1}" loading="lazy"> ist die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto a\,x^{r}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto a\,x^{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dadcc77ab2d21566b5258e2d09a3a39d7ef50aae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.864ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto a\,x^{r}}" loading="lazy"> stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" loading="lazy">.

Zum Beispiel ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x{\sqrt[{3}]{x^{2}}})'={\tfrac {5}{3}}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}">

<mroot>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<msup>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mroot>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x{\sqrt[{3}]{x^{2}}})'={\tfrac {5}{3}}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f8176dcbe2afe7e620fc2f895bf40a142b98298.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.996ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle (x{\sqrt[{3}]{x^{2}}})'={\tfrac {5}{3}}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}" loading="lazy"> gültig in ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54edc82900153fe95d7604ca3418e80cff281e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.189ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}" loading="lazy"> (bzw. sogar in ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy">, wenn man ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt – siehe unten).

Für eine beliebige nicht negative rationale Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\neq -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\neq -1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73dac41b6ff9b98e5de3f6428692a21dee00bdff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.118ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle r\neq -1}" loading="lazy"> ist die Formel

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int x^{r}\;dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4d6364d0ad902655c37f33cf045c09f0c91a536.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.668ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int x^{r}\;dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle Intervalle, die Teilmengen der Definitionsmenge sind, gültig. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3aa9dc9f52ab2212ef9945a9d17f5b6ded46c899.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.118ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r=-1}" loading="lazy"> gilt

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int x^{-1}\;dx=\int {\frac {1}{x}}\;dx=\ln(|x|)+C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52d85f539b3f6c1acdcd32cd355e8818254e44d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.547ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int x^{-1}\;dx=\int {\frac {1}{x}}\;dx=\ln(|x|)+C}" loading="lazy"></dd></dl>

Zum Beispiel gilt:

<mroot>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mroot>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int x{\sqrt[{3}]{x^{2}}}\;dx=\int x^{5/3}\;dx=3/8~x^{8/3}+C=3/8~x^{2}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}+C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37b3ad8e1e776fce8a9b9bf695bdc179a16b87ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:59.373ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int x{\sqrt[{3}]{x^{2}}}\;dx=\int x^{5/3}\;dx=3/8~x^{8/3}+C=3/8~x^{2}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}+C}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Potenzfunktionen_mit_Wurzeln_aus_negativen_Zahlen">Potenzfunktionen mit Wurzeln aus negativen Zahlen</h2></div>

In diesem Abschnitt werden nur Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten betrachtet, bei denen der Nenner des gekürzten Exponenten ungerade ist, und es wird erklärt, wie man deren Definitionsmenge auf negative Zahlen erweitern kann. Im Folgenden wird dann erläutert, welche der oben erwähnten Eigenschaften der Funktionen dadurch geändert werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ungerade_Wurzeln_aus_negativen_Zahlen">Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen</h3></div>

(→ Siehe auch <a href="Potenz_(Mathematik)#Rationale_Exponenten" title="Potenz (Mathematik)">Potenz</a>)

In den bisherigen Abschnitten wurde die in vielen Schulbüchern übliche Konvention verwendet, dass Wurzeln nur für nicht-negative Radikanden definiert sind. Man kann jedoch auch ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulassen. Für ungerades <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> und beliebiges <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> definiert man, analog zur bekannten Definition für positive Radikanden:

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b3ba2638d05cd9ed8dafae7e34986399e48ea99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.266ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}" loading="lazy"> ist diejenige (eindeutige) reelle Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy">, für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{n}=x}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{n}=x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/287a41964d6e61f0251e3e13a9fd032c558e8a41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.807ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y^{n}=x}" loading="lazy"> gilt.</div>

Beispielsweise wäre nach dieser Definition die Lösung der Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{3}=-8}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{3}=-8}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1704fb6b7c52fb01ffaafb87194d06a6bf62cac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.453ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{3}=-8}" loading="lazy"> gegeben durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-8}}=-2}">

<mroot>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-8}}=-2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45f812e5dfa7afd8258cd79bc10fb4d53ee15ea7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.404ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-8}}=-2}" loading="lazy"> (wohingegen man nach der üblichen Definition ohne Wurzeln aus negativen Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=-{\sqrt[{3}]{8}}=-2}">

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=-{\sqrt[{3}]{8}}=-2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36458627c969839db6a6064f55d6b4a918a469f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.404ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x=-{\sqrt[{3}]{8}}=-2}" loading="lazy"> schreiben müsste).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definitions-_und_Wertemenge_2">Definitions- und Wertemenge</h3></div>

Bei Potenzfunktionen mit den eingangs erwähnten Eigenschaften kann man nun den <a href="Definitionsbereich" class="mw-redirect" title="Definitionsbereich">Definitionsbereich</a> auf negative <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> erweitern : Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=n/m}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=n/m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fa130c2d39d96791fcd4296d24ac69d23b71181.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.745ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=n/m}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c1cf6a513f2062531d95dbb198944936f312982.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.786ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42411e85d874a733209223302bbd8d5e3ad04cb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.559ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m\in \mathbb {N} }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> dabei ungerade, und seien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> <a href="Teilerfremdheit" title="Teilerfremdheit">teilerfremd</a>, dann gilt:

<msup>

</mrow>

</msup>

<mroot>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{r}={\sqrt[{m}]{x^{n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58f933c24282d1440527719a0953a4617cd7cd95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.886ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{r}={\sqrt[{m}]{x^{n}}}}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\qquad }}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\qquad }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ab388d4a5de83683f91d10f18d0f16d152a2d86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:4.645ex; height:0.343ex;" alt="{\displaystyle {\qquad }}" loading="lazy"> (oder, was äquivalent ist, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\quad }}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\quad }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87a640f9d1d100164003f35e00d83b5cc0973ade.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:2.323ex; height:0.343ex;" alt="{\displaystyle {\quad }}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{r}=({\sqrt[{m}]{x}})^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mroot>

</mrow>

</mroot>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{r}=({\sqrt[{m}]{x}})^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/436bafa0a77aeb980b76f0ddea791b2b976ebb45.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.695ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{r}=({\sqrt[{m}]{x}})^{n}}" loading="lazy">).</dd></dl>

(Anmerkung: Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6100c5ebd48c6fd848709f2be624465203eb173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m=1}" loading="lazy">, dann ergibt dies wieder eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten.)

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>0}" loading="lazy"> ist die Definitionsmenge dieser Funktion dann gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy">, für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad9f68fb8426c4411972241aac6c359e7812eaba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n<0}" loading="lazy"> ist sie gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56420a6ebd07fed2749f2b8884cbf95087951286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}" loading="lazy">.

Für die Wertemenge muss man wieder das Vorzeichen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> beachten. Außerdem kommt es nun auch noch darauf an, ob eine der Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gerade ist (d. h. das Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle mn}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mn}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/348cd26a0b7a0034f57a951e2cf5f637dd47c1ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle mn}" loading="lazy"> gerade ist) oder ob diese beiden Zahlen ungerade sind (d. h. das Produkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle mn}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mn}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/348cd26a0b7a0034f57a951e2cf5f637dd47c1ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle mn}" loading="lazy"> ungerade ist):

<th colspan="2">n < 0

</th></tr>

<tr>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mn}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/348cd26a0b7a0034f57a951e2cf5f637dd47c1ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle mn}" loading="lazy"> gerade</th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mn}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/348cd26a0b7a0034f57a951e2cf5f637dd47c1ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle mn}" loading="lazy"> ungerade</th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mn}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/348cd26a0b7a0034f57a951e2cf5f637dd47c1ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle mn}" loading="lazy"> gerade</th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mn}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/348cd26a0b7a0034f57a951e2cf5f637dd47c1ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle mn}" loading="lazy"> ungerade

</th></tr>

<tr>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54edc82900153fe95d7604ca3418e80cff281e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.189ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}" loading="lazy"></td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></td>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97dc5e850d079061c24290bac160c8d3b62ee139.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}" loading="lazy"></td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56420a6ebd07fed2749f2b8884cbf95087951286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04a0ccd8b5b081f8906b167734243b7785e80dbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.189ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{-}}" loading="lazy"></td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></td>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/158001a03e958f49f5885033776a420fc47b7267.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}" loading="lazy"></td>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56420a6ebd07fed2749f2b8884cbf95087951286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symmetrie_und_Verhalten_für_x_→_±∞_und_x_→_0">Symmetrie und Verhalten für x → ±∞ und x → 0</h3></div>

Für die Symmetrie gilt ähnliches wie bei ganzzahligen Exponenten: die Funktion ist gerade für gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> und ungerade für ungerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">. Ihr Verhalten für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to 0\;(x<0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to 0\;(x<0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a914946ac4d9f3a99963bcbc46c2cc73bbb07bf8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.151ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\to 0\;(x<0)}" loading="lazy"> und für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\to -\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\to -\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a02931d12f93c144745ec549edf61e85fba2c3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.076ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\to -\infty }" loading="lazy"> ist dann von ihren Symmetrieeigenschaften und von ihrem Verhalten auf der rechten Halbachse definiert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

Potenzfunktionen haben vielfältige Anwendungen in Wirtschaft, Natur und Technik:

<ul><li><a href="Proportionalit%C3%A4t" title="Proportionalität">Proportionalitäten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r=1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r=1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca63ba9698485f9712e354898945949cca4cf894.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r=1)}" loading="lazy"> tauchen in vielen Zusammenhängen auf:

<ul><li>Kosten und Warenmenge (ohne Mengenrabatt)</li>

<li>Umrechnung zwischen Währungen</li>

<li><a href="Kreisumfang" class="mw-redirect" title="Kreisumfang">Kreisumfang</a> und <a href="Radius" title="Radius">Radius</a></li>

<li><a href="Masse_(Physik)" title="Masse (Physik)">Masse</a> und <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> (bei konstanter <a href="Dichte" title="Dichte">Dichte</a>)</li>

<li>vergangene Zeit und zurückgelegte Wegstrecke (bei konstanter Geschwindigkeit)</li>

<li>gefahrene Wegstrecke und verbrauchte Kraftstoffmenge (bei konstantem Verbrauch)</li>

<li><a href="Kraft" title="Kraft">Kraft</a> und <a href="Beschleunigung" title="Beschleunigung">Beschleunigung</a> (bei konstanter Masse)</li>

<li>Dehnung eines Körpers und angreifende <a href="Kraft" title="Kraft">Kraft</a> (in gewissen Grenzen, siehe <a href="Hookesches_Gesetz" title="Hookesches Gesetz">Hookesches Gesetz</a>)</li></ul></li>

<li>Praktisch genauso häufig kommen <a href="Reziproke_Proportionalit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Reziproke Proportionalität">reziproke Proportionalitäten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r=-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r=-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19d3fa030137bac7d4a7c1e88e1a4a66f0b1e4c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.927ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r=-1)}" loading="lazy"> vor (auch indirekte oder Anti-Proportionalität genannt):

<ul><li>Arbeiterzahl und Arbeitszeit</li>

<li>benötigte Zeit für eine Wegstrecke und (konstanter) <a href="Geschwindigkeit" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeit</a></li>

<li>benötigte <a href="Kraft" title="Kraft">Kraft</a> und Länge eines Hebels (<a href="Hebelgesetz" class="mw-redirect" title="Hebelgesetz">Hebelgesetz</a>)</li>

<li>Masse und benötigte Kraft für gegebene Beschleunigung</li></ul></li>

<li>Viele Größen in <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> und <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> hängen quadratisch voneinander ab <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r=2)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r=2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20f54f84741d3e7366f342f2f2b192c0717c0972.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r=2)}" loading="lazy">:

<ul><li><a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> eines <a href="Quadrat_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Quadrat (Geometrie)">Quadrats</a> und seine Seitenlänge</li>

<li><a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> eines <a href="Kreis_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Kreis (Geometrie)">Kreises</a> und sein <a href="Radius" title="Radius">Radius</a></li>

<li><a href="Spannenergie" title="Spannenergie">Spannenergie</a> und Dehnung eines Körpers</li>

<li><a href="Bewegungsenergie" class="mw-redirect" title="Bewegungsenergie">Bewegungsenergie</a> und <a href="Geschwindigkeit" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeit</a></li>

<li>zurückgelegte Wegstrecke und Zeit bei gleichmäßiger <a href="Beschleunigung" title="Beschleunigung">Beschleunigung</a></li>

<li><a href="Elektrische_Leistung" title="Elektrische Leistung">elektrische Leistung</a> und <a href="Elektrische_Stromst%C3%A4rke" title="Elektrische Stromstärke">Stromstärke</a> bei gegebenem <a href="Elektrischer_Widerstand" title="Elektrischer Widerstand">Widerstand</a></li>

<li><a href="Luftwiderstand" class="mw-redirect" title="Luftwiderstand">Luftwiderstandskraft</a> und <a href="Geschwindigkeit" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeit</a> bei <a href="Turbulente_Str%C3%B6mung" title="Turbulente Strömung">turbulenter Strömung</a></li></ul></li>

<li>Die dritte Potenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r=3)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r=3)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30ee78223ef28cfeb792e109ba0a38ba3076cc6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r=3)}" loading="lazy"> tritt beispielsweise in der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> häufig auf:

<ul><li><a href="Radius" title="Radius">Radius</a> und <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> einer <a href="Kugel" title="Kugel">Kugel</a></li>

<li>Seitenlänge und <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> eines <a href="W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfels</a></li></ul></li>

<li>Einige physikalische Größen hängen in der vierten Potenz miteinander zusammen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r=4)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r=4)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d312fdb8e15726a287e85a0f8c26644601aa4c67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r=4)}" loading="lazy">:

<ul><li>Strahlungsleistung eines <a href="Schwarzer_K%C3%B6rper" title="Schwarzer Körper">schwarzen Körpers</a> und seine absolute <a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperatur</a> (<a href="Stefan-Boltzmann-Gesetz" title="Stefan-Boltzmann-Gesetz">Stefan-Boltzmann-Gesetz</a>)</li>

<li><a href="Streuquerschnitt" class="mw-redirect" title="Streuquerschnitt">Streuquerschnitt</a> für Lichtstreuung und Licht<a href="Frequenz" title="Frequenz">frequenz</a> (die u. a. für die blaue Farbe des Himmels verantwortliche <a href="Rayleigh-Streuung" title="Rayleigh-Streuung">Rayleigh-Streuung</a>)</li>

<li>Volumenstrom durch ein dünnes Rohr und Rohrradius (<a href="Gesetz_von_Hagen-Poiseuille" title="Gesetz von Hagen-Poiseuille">Gesetz von Hagen-Poiseuille</a>)</li></ul></li>

<li>Auch nicht-ganzzahlige Potenzen kommen in vielen Zusammenhängen vor:

<ul><li>Zusammenhang zwischen <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a>, <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> und absoluter <a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperatur</a> bei <a href="Adiabatische_Zustands%C3%A4nderung" title="Adiabatische Zustandsänderung">adiabatischen Zustandsänderungen</a> (siehe auch <a href="Adiabatenexponent" class="mw-redirect" title="Adiabatenexponent">Adiabatenexponent</a>)</li>

<li>Zusammenhang zwischen großer <a href="Halbachsen_der_Ellipse" title="Halbachsen der Ellipse">Halbachse</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und Umlaufzeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> von <a href="Planet" title="Planet">Planeten</a> bzw. <a href="Mond" title="Mond">Monden</a> (<a href="Keplersche_Gesetze" title="Keplersche Gesetze">3. Kepler-Gesetz</a>)</li>

<li><a href="Skalengesetz" title="Skalengesetz">Skalengesetze</a>, beispielsweise bei <a href="Phasen%C3%BCbergang" title="Phasenübergang">Phasenübergängen</a>, aber auch in der <a href="Biologie" title="Biologie">Biologie</a></li>

<li>In der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> gilt für den Zusammenhang zwischen <a href="Oberfl%C3%A4cheninhalt" class="mw-redirect" title="Oberflächeninhalt">Oberflächeninhalt</a> und <a href="Rauminhalt" class="mw-redirect" title="Rauminhalt">Rauminhalt</a> eines <a href="W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfels</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=(O/6)^{3/2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=(O/6)^{3/2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d461518906a1e18633b9be816f972ef0c75ed7a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.491ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle V=(O/6)^{3/2}}" loading="lazy">; eine ähnliche Formel ergibt sich bei einer <a href="Kugel" title="Kugel">Kugel</a>.</li>

<li>Bei einem Universum, das mit einer homogenen Substanz erfüllt ist, die eine <a href="Zustandsgleichung" title="Zustandsgleichung">Zustandsgleichung</a> der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=w\rho }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=w\rho }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60ea24a71ed84815ba600571ee579ce4f21c3b61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:7.223ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle p=w\rho }" loading="lazy"> erfüllt, ergibt sich für die Zeitabhängigkeit des <a href="Skalenfaktor" title="Skalenfaktor">Skalenfaktors</a> aus den <a href="Friedmann-Gleichungen" title="Friedmann-Gleichungen">Friedmann-Gleichungen</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(t)\sim t^{2/3(1+w)}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(t)\sim t^{2/3(1+w)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0c5e3a8884c0b739d785232acc202be93be04b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.072ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle a(t)\sim t^{2/3(1+w)}}" loading="lazy">.</li></ul></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Karl-Heinz Pfeffer: Analysis für Fachoberschulen. Vieweg+teubner 2005, ISBN 3-528-54006-0, S. 104 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=2nIFFgNx4ucC&pg=PA104#v=onepage">eingeschränkte Online-Kopie</a> in der Google-Buchsuche)</li>

<li>Wolfgang Brauch, Hans-Joachim Dreyer, Wolfhart Haacke: Mathematik für Ingenieure. Vieweg+Teubner 2006, ISBN 3-8351-0073-4, S. 104 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=3sgenItY_4gC&pg=PA104#v=onepage">eingeschränkte Online-Kopie</a> in der Google-Buchsuche)</li>

<li><a href="Horst_St%C3%B6cker" title="Horst Stöcker">Horst Stöcker</a>: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. Harri Deutsch Verlag 2009, ISBN 978-3-8171-1812-0, S. 146 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=CnfrIB6IDFQC&pg=PA146#v=onepage">eingeschränkte Online-Kopie</a> in der Google-Buchsuche)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.poenitz-net.de/Mathematik/4.Funktionen/4.4.S.Potenzfunktionen.pdf">Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten (pdf; 373 kB)</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathenexus.zum.de/pdf/analysis/funktionen_polynom/weiterfuehrendes/potenz_01_Parabeln.pdf">Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten (pdf; 105 kB)</a> – ZUM-Materialien zur Potenzfunktion</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

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</main>

</div>

</body></html>